2020. május: jegyzet, adatbányászat, folyamatmodellezés, diagnosztika, egyetem, vegyipar, portré, okostechnológia, genomika, gépipar, közlekedés, fizika, orvostudomány, hálózatkutatás, matematika, it, tudomány, neutronkutatás, anyagtudomány, autóipar, öntészet, mérés, atomenergia, biztonságtechnika, innováció, elektronika, disszemináció, izotóptechnika, egészségipar, vízgazdálkodás, környezetvédelem, építés, zöldkörnyezet, fenntarthatóság, hulladékgazdálkodás, paragrafus, mesterséges intelligencia, virtuális valóság

Mindenben ott a matematika – ezt kell megmutatni a gyerekeknek

A koronavírus-világjárvány miatt hirtelen felértékelődött a matematikusok szerepe, hiszen csak ők tudnak megalapozott jóslatokba bocsátkozni a járvány terjedéséről. Ugyan­akkor e szerepváltozás csak a közvélemény szemében történt, hiszen a matematika eddig is ott volt az összes természettudományban és az ipar szinte minden ágazatában. Ha ezt sikerülne megmutatni a diákok­nak, minden bizonnyal sokkal kevésbé kérdőjeleznék meg a sok, valóságtól elrugaszkodottnak tűnő ismeret létjogosultságát, és sokkal többen kapnának kedvet az alkalmazott matematikához.


Mire jó a matematika? – teszi fel a kérdést rengeteg általános és középiskolás magának, illetve szüleinek rendszeresen, amikor nem érti, hogy miért is kell olyan absztrakt dolgokról tanulnia a matematikaórán, aminek józan számítás szerint semmi hasznát nem fogja venni a későbbi élete során. Azt talán még úgy-ahogy érti, hogy mire való a négy alapművelet, esetleg a százalék- vagy területszámítás, ám az egyenleteknél, szögfüggvényeknél, logaritmusnál, határérték-számításnál valószínűleg még sok, bölcsészbeállítottságú szülő is bajban lenne, ha meg kellene indokolni azok létjogosultságát.

De van a középiskolásoknak egy másik csoportja is. Ők ugyanezt a kérdést – Mire jó a matematika? – teszik fel maguknak a pályaválasztás előtt, de teljesen más szempontból. Ők nem kifogást keresnek a matematikatanulás mellőzésére, hanem épp ellenkezőleg: okot keresnek a matematikatanulásra. Sok diák tanul az iskolában, akit érdekel a matematika, és van is hozzá tehetsége. Ugyanakkor gyakorlatias gondolkodású, ezért aztán nem alapkutatással, hanem inkább alkalmazott matematikával, pontosabban matematikaalapú tudományokkal szeretne foglalkozni.

Járványmodellezők

A matematika szó szerint életbe vágó jelentőségével ezekben a hónapokban az egész világ kénytelen szembesülni. Jóval azelőtt, hogy a koronavírus-világjárvány gyakorlatilag az összes országot elérte volna, a járványmodellező matematikusok már kongatták vészharangokat, mert számításaikból rémisztő jövőkép rajzolódott ki.
A kínai Hupej tartományban lévő Vuhan város és Kína olyan mértékben részese a világkereskedelemnek, illetve az áruk és az emberek globális forgalmának, hogy a mobilitás­min­tá­za­tok­kal számoló matematikai modellek többsége bámulatosan pontosan jelezte, hogy az új koronavírus (SARS-CoV-2) menthetetlenül el fog terjedni az egész világon, ezért azonnal meg kell kezdeni a védekezést és a felkészülést a legrosszabbra.
Azóta a matematikusok a hírek mindennapi szereplői lettek. Mindenki – közemberek és állami vezetők – tőlük várja a járvány trendjeinek előrejelzését. Számításaiktól is függnek a bevezetendő óvintézkedések, a karantén, a felszabadítandó egészségügyi kapacitások, jószerével az egész életünk. A matematika hirtelen tehát nagyon fontossá vált mindenki számára. Pedig eddig is ott volt mindenhol. Korántsem csak az elméleti kutatások szférájában, hanem szó szerint a modern világ minden vívmányában, a számítógépektől és okostelefonoktól az interneten és a mérnöki alkotásokon át a genetikáig és a közlekedésig.
Ezt kell megmutatni a diákoknak ahhoz, hogy megértsék az általános iskolai és főképp a középiskolai matematika jelentőségét. Mert kezdetben sokan vannak, akik nem utálják, sőt kifejezetten érdekesnek találják a tantárgyat. Csak az évek múltával, részben azért, mert nem kapnak visszajelzést, útmutatást a tanultak használhatóságát illetően, az érdeklődésük alábbhagy, ők pedig a matematika szemszögéből lemorzsolódnak.

Matematizálható problémák

„Kétféle diák létezik a matematikához való hozzáállás szempontjából. Az egyik csoportot önmagában a matematika mint tudomány érdekli. Ők felismerik a tudományág szépségét, megértik a benne rejlő struktúrákat és összefüggéseket – mondja Csapodi Csaba, az Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikatanítási és Módszertani Központjának munkatársa. – Nyilván e tanulók nagyon kevesen vannak, de e tehetség nagyon hamar szembetűnővé válik. Így ezek a gyerekek, ha csak nem nagyon hátrányos helyzetűek, általában megtalálják az útjukat az iskolarendszeren belül, kitűnnek a versenyeken, és továbbtanuláskor a megfelelő helyre kerülnek.”

A gyerekek egy része akkor, amikor ezt a matematikaoktatás megköveteli tőlük, még nem képesek az absztrakt matematikai gondolkodásra. Vannak, akik teljesen jól meg tudják szá­molni a játékaikat, de amikor ugyanezekkel a mennyiségekkel puszta számként kell dolgozniuk, az már nem megy nekik.

Jóval bonyolultabb kérdés, hogy hogyan tegyük érdekeltté a matematika iránt a többi diákot (ők az összes tanuló legalább 95 szá­zalékát teszik ki). Csapodi Csaba tapasztalatai szerint minden gyerek számára léteznek azok a problémák, amelyek könnyen „ma­te­matizál­hatók”, tehát meg lehet találni bennük a matematikai gyökeret. A magyarországi matematikaoktatás sokat fejlődött az utóbbi időszakban a gyakorlati problémák iskolai oktatásának irányába, de még mindig van lehetőség további fejlődésre. Ezt szolgálja a folyamatosan alakított Nemzeti alaptanterv is.
A matematikus maga is részt vett az ősszel bevezetendő kerettanterv kialakításában, és tisztában van vele, hogy az iskolai órákon sokszor szembesülnek a gyerekek olyan, tisztán absztrakciót igénylő feladatokkal, amelyek legalábbis nem segítenek nekik abban, hogy megszeressék a matematikát. A tapasztalat szerint pedig aki hamar (tehát alsóbb évfolyamokban) elveszti a fonalat, az később már nagyon nehezen tud újra bekapcsolódni a matematika elsajátításába.

A választóvonal, úgy tűnik, az absztrakciós készség megléte vagy hiánya. A gyerekek egy része akkor, amikor ezt a matematikaoktatás megköveteli tőle, még nem képes az absztrakt matematikai gondolkodásra. Vagyis nem tudnak a számokról, változókról és egyéb matematikai konstrukciókról úgy gondolkodni, hogy elvonatkoztassanak a való világban előforduló dolgoktól.
Sok gyerek nagyszerűen meg tudja számolni a játékait, de amikor ugyanezekkel a mennyiségekkel puszta számként kell dolgozniuk, az már nem megy nekik. Könnyen lehet, hogy a későbbi életkorban behoznák előrébb tartó kortársaikat, de erre nem kapnak lehetőséget a jelenlegi matematikaoktatásban, mert az anyaggal haladni kell, és addigra már újabb, jó eséllyel még elvontabb anyagot vesznek.

Az örök skatulya

„Persze nem egyszerű meghatározni, hogy a tantervnek kiket kell céloznia, ugyanis a tanulók matematikai képességeiben hatalmas a szórás. Így, ha nagyon magasra tesszük a lécet, akkor sokan nagyon hamar el fogják veszíteni a fonalat, ha pedig nagyon alacsonyak lesznek a követelmények, akkor a tanulók egy része unatkozni fog az órán – érvel Csapodi Csaba. – Ha siettetjük, hogy a tanuló megértse az aktuális anyagot, de neki ez nem megy ilyen gyorsan, nagyon hamar el fogja veszíteni az érdeklődését a matematika iránt. De ami még rosszabb, kialakul benne a kétkedés a saját képességeiben. Azt fogja gondolni, hogy ő egyszerűen nem képes megérteni a matematikát.”
Innentől kezdve már nagyon nehéz felzárkóztatni ezeket a tanulókat, az pedig szinte lehetetlen, hogy megértessük velük, hogy a mindennapi boldogulásukhoz, illetve sok magasabb presztízsű foglalkozás betöltéséhez elemi szükségük lesz a matematikára. Nem feltétlenül a Thalész-tételre, hanem a matematikai gondolkodás alapelemeire.

Felnőttkorban a tapasztalatok miatt felismerjük a matematika fontosságát olyan jelenségekben, munkakörökben, problémákban is, amelyekről korábban nem is sejtettük, hogy közük lehet a számokhoz. Ugyanakkor a tanulás, illetve az idegrendszer érése következtében egy felnőtt kognitív apparátusa (absztraktabbá vált a gondolkodása) megérett arra, hogy be tudja fogadni az adott matematikai konstrukciókat.

Nemritkán előfordul, hogy az ember csak felnőttként kezdi értékelni a matematika jelentőségét. Csapodi Csaba gyakran szembesül azzal, hogy felnőtt ismerősei keresik meg, hogy amikor egy-egy online matematikaóráját látták, akkor döbbentek rá arra, hogy megértették azt a tananyagot, sőt érdekesnek is találták. A matematikatanár szerint ez nem azért van, mert ő olyan zseniális tanár, hanem főként azért, mert a hallgatóság közben felnőtté érett. Amikor ugyanezt az anyagot 16-18 évesen próbálták megtanítani nekik, még nem voltak fogékonyak és érettek az efféle információkra.
Felnőtt fejjel azonban már sok mindennel találkozhattak az életben, és azok a tapasztalatok mind arra vezették őket, hogy felismerjék a matematika fontosságát olyan jelenségekben, munkakörökben, problémákban is, amelyekről korábban nem is sejtették, hogy közük lehet a számokhoz. Másrészt pedig a tanulás, illetve az idegrendszer érése következtében egyszerűen már megérett arra a kognitív apparátusuk – vagyis absztraktabbá vált a gondolkodásuk –, hogy be tudják fogadni az adott matematikai konstrukciókat.

Magyarul: ahogy idősödik az ember, egyre inkább elfogadja a matematika szükség­szerű­ségét. Mindazok a matematikai ismeretek, amelyek az általános és középiskolai tananyagban szerepelnek, évezredek alatt alakultak ki, mi pedig azt várjuk a tanulóktól, hogy néhány év alatt elsajátítsák őket. A már említett Thalész-­tétel például a matematika egyik legősibb tétele, az időszámításunk előtti 7–6. században élt görög Thalész dolgozta ki (ő volt az is, aki meghatározta, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180 fok). Talán még ismerős a gimnáziumból: a Thalész-tétel azt mondja ki, hogy a kör vonalának bármely pontjából a kör bármely átmérője derékszögben látszik.

Hat palacsinta

Az első, matematikával kapcsolatos negatív élmények pedig nagyon hosszú távú következményekkel járhatnak. Ha a tanuló nem képes teljesíteni az adott pillanatban elvárt szintet, arról nagyon hamar negatív visszajelzést kap a tanárától, majd a szülőjétől is (amint meglátja az ellenőrzőjét – napjainkban az ellenőrzőt kiváltó internetes alkalmazást). A szülő a rossz jegyeket látva folyamatosan azzal szembesíti a gyerekét, hogy meg fog bukni, senki sem lesz belőle, a gyerek pedig emiatt gyorsan el is könyveli magát „rossznak” matematikából, és ebből a saját maga felépítette skatulyából szinte lehetetlen később kitörnie.

Hogy lehet elkerülni azt, hogy az egyébként jó képességű diákok megutálják a matematikát – és ezzel tudtukon kívül elvágják magukat számos olyan foglalkozástól (legyenek azok kutatói vagy ipari, netán szolgáltatási állások), amelyeket egyébként élveznének, és esetleg még meg is tudnának élni belőlük? Csapodi Csaba szerint ennek alapvető feltétele az lenne, hogy minden gyerek képességfejlődéséhez igazítsuk a matematikai követelményeket. A másik lehetőség pedig az, hogy olyan problémákat tárjunk eléjük, amelyek relevánsnak tűnnek számukra, és a saját életükben tapasztaltakhoz tudják őket kötni.
„Ha a saját, másodikos gyerekemnek felteszem a kérdést, hogy mennyi hat osztva kettővel, akkor hosszú gondolkodás után sem biztos, hogy megmondja az eredményt. Ha viszont úgy kérdezem meg tőle ugyanezt, hogy van hat palacsinta, és ha kettőtök között kell igazságosan elosztani, mennyi jut egyikőtöknek, akkor azonnal rávágja, hogy három – mondja Csapodi Csaba. – Nyilvánvaló, hogy abban a pillanatban, amikor a gyerek számára érdekes és releváns a megoldandó probléma, az azonnal átlendíti a nehézségeken, és sokkal eredményesebben tud dolgozni.”

A matematikatanár szerint a jelenlegi járványhelyzet – jól­le­het szinte minden szempontból szörnyű terheket ró minden­kire – matematikatanítási szempontból „ideális terepe” annak, hogy megmutassuk a diákoknak, hogy mire is való a matematika. Adott ugyanis egy szituáció, amely mélyen érint mindenkit, ezért mindenki számára releváns. Így minden adott (lenne) ahhoz, hogy ez a probléma megjelenjen a matematikaórán is.
Ám ahhoz, hogy például a járványok működésének matematikai megközelítését megértsük, rengeteg – sokkal szikárabb – matematikai ismeretre, úgymond eszközkészletre van szükségünk. Ahhoz ugyanis, hogy érdemben megvilágítsuk e modellek működését, nem elegendő az adatok felületes ábrázolása a grafikonon, ahhoz bizony mélységében kell ismernünk például a függvények viselkedését.
Ennek ellenére nem megkerülhető, hogy újra és újra tudatosítsuk a diákokban, illetve szüleikben, hogy a matematika milyen elválaszthatatlanul ott van a természeti, illetve az épített világ szinte minden jelenségében. Ezek a jelenségek pedig matematikai modellekkel leírhatók. De mi is az a modell a matematikában? A valóság bizonyos elemei a matematika nyelvén megfogalmazva. Amikor szöveges feladatot oldunk meg, és a kérdés alapján felírunk egy egyenletet, akkor is modellt alkotunk. Ez valóban hasonlít az épületek vagy járművek kézzelfogható modelljeihez, és bár bizonyos tekintetben valóban hasonlítanak azokra a valóságban is létező tárgyakra, amelyek alapján készítették őket, mégsem egyenlők velük.

De mi is az a modell a matematikában? A valóság bizonyos elemei a matematika nyelvén megfogalmazva. Amikor szöveges feladatot oldunk meg, és a kérdés alapján felírunk egy egyenletet, akkor is modellt alkotunk, melynek megoldása az egyenletben szereplő változó értéke lesz. Ha a matematikai megoldást visszafordítjuk a valóság nyelvére, megkapjuk a választ a gyakorlati kérdésre.

A modell megoldása – a szöveges feladatos példánál maradva – az egyenletben szereplő változó értéke lesz. Az utolsó lépésben ezt a matematikai megoldást kell visszafordítanunk a valóság nyelvére, tehát meg kell válaszolnunk a gyakorlati kérdést. Minden matematikai modell így működik, bár természetesen a modellbe bevont változók mennyisége, illetve a modell felírásához szükséges eszközrendszer lényegesen bonyolultabb lehet. A matematikai mo­dellezés legnehezebb része az, hogy találunk-e olyan matematikai objektumot, amely a valóságot – pontosabban a minket érdeklő részét – megfelelően pontosan leírja.

Matematika a zsebben

Bizonyos értelemben a számítógépes programok is modellek, amelyek gyakran olyan eljárásokat, illetve szolgáltatásokat modelleznek, amelyek korábban a valóságban történtek, gyakran pedig emberek működtették őket. Ma már gyakorlatilag minden középiskolás diáknak van okostelefonja, és az interneten működő chatalkalmazások közvetítésével üzeni meg a barátainak, hogy a matematikának nincs semmi értelme.

A számítástechnika a tudományok azon területe, amely teljes mértékben elképzelhetetlen a matematika nélkül, és amely a legnagyobb hatást gyakorolja mindennapi életünkre. Ha megvizsgáljuk, hogy miben különbözik mai életünk a fél évszázaddal ezelőtt élt emberek életétől, szinte minden szembetűnő különbség felszínén vagy a mélyében ott vannak a számítógépek. Ezt talán sejti mindenki, és azt is tudni vélik sokan, hogy a programozás és a matematika között jelentős az átfedés. De pontosan miért is kell matematika az informatikai fejlesztésekhez?

A számítástechnikában a programozás és a matematika között jelentős az átfedés. Ugyanakkor a matematika nem közvetlenül a programkódok megírásához szükséges, hanem a logikus, programozói gondolkodás elsajátításához.

„A matematika nem közvetlenül a programkódok megírásához szükséges, hanem a logikus, programozói gondolkodás elsajátításához – magyarázza Csapodi Csaba. – Ezt, kissé esetlen magyar kifejezéssel, komputációs gondolkodásnak nevezzük, ami arra utal, hogy a gyakorlati problémákat programkódként értelmezzük. Felismerjük például, hogy a megoldáshoz a problémát részekre kell bontanunk, ezáltal esetleg egy már korábban megoldott problémára tudom visszavezetni a megoldást. Fontos emellett a folytonos ellenőrzés, a megoldás tesztelése is.”
A komputációs gondolkodás elemei nagy átfedést mutatnak a matematikai gondolkodással. Vagyis az, aki a matematikaórán megtanul jól problémákat megoldani, az nagy valószínű­ség­gel jó lesz a programozási problémák megoldásában is.

A napi gyakorlatban a matematikát alkalmazzuk az elkészülő épületek, alkatrészek, járművek fizikai tulajdonságainak előre­jelzésére. A tervezéshez szükség van a geometriától a trigo­no­metrián keresztül az integrálszámításig, de matematikai mo­dellek szimulálják az evolúciót, a populációk változásait, a vérnyomás alakulását az érfalak merevsége függvényében. Matematikai algoritmusok nélkül nem tudnánk meghatározni a fehérjék térszerkezetét, és nem tudnánk DNS-t szekvenálni.

A másik nagy, szó szerint kézzelfogható termékeket előállító ipari és tudományterület, amely elképzelhetetlen matematika nélkül, a tervezés, illetve a mérnöki tudományok. Itt már nemcsak a matematikai gondolkodásra van szükség, de bizonyos matematikai módszereket a napi gyakorlatban is alkalmazni kell, az elkészülő épületek, alkatrészek, járművek fizikai tulajdonságainak előrejelzésére. A geometriától a trigonometrián keresztül az integrál­számításig a matematika gyakorlatilag minden részterületére szükség van a tervezéshez.
Analízis nélkül lehetetlen lenne például kiszámítani, hogy az adott épületelemre vagy gépalkatrészre milyen erők fognak hatni, és azok hogyan változnak az időben. Ugyanígy elengedhetetlen a valószínűségszámítás és a statisztika, amikor a mérnököknek meg kell állapítaniuk, hogy egy esemény milyen gyakorisággal következik be, és ennek megfelelően milyen erőforrásokat kell az esemény hatásainak kivédésére fordítani.

Ha eltávolodunk kissé az alkalmazott területekről és az alapkutatást vizsgáljuk, ott is azt találjuk, hogy minden természettudományos tudományágban jelen van a matematika. A legtisztább formában a fizikában jelenik meg, olyannyira, hogy az elméleti fizikusok gyakorlatilag matematikával foglalkoznak munkaidejük jelentős részében. A biológia sem képzelhető el számok nélkül. Matematikai modellek szimulálják az evolúciót, a populációk változásait, a vérnyomás alakulását az érfalak merevsége függvényében. Matematikai algoritmusok nélkül nem tudnánk meghatá­rozni a fehérjék térszerkezetét, és nem tudnánk DNS-t szekvenálni. Márpedig – és itt sajnos vissza kell térnünk a koronavírus-jár­ványra – e két eljárás életbevágóan fontos a vakcina- és gyógyszer­fejlesztésben, a vírus evolúciójának nyomon követésében, illetve a hatékony tesztek kifejlesztésében.

Az egyéniség csak illúzió?

De hogyan jelezheti előre a matematika a járványok terjedését? Hogyan gondolhatja bárki is, hogy matematikai módszerekkel szimulálja az emberek viselkedését, holott mindannyian más és más elvek szerint viselkedünk, így aztán magatartásunk teljes mértékben kiszámíthatatlan. Nos, éppen a társadalmi folyamatok matematikai modellezése bizonyította, hogy ez mennyire illúzió.
„Igen zavaró felismerés lehet, amikor az ember rájön, hogy ő mégsem olyan független egyéniség. Jól bizonyítják mindezt a közvélemény-kutatások. A nyolcmillió magyar választópolgár akaratát meglepően jól le lehet képezni ugyanis egy ezer-ezerötszáz fős minta vizsgálatával. Ez azt jelenti, hogy a nyolcmillió lakos között legfeljebb csak ezerféle ember létezhet – mondja Csapodi Csaba. – Még megdöbbentőbb, hogy egy sokkal nagyobb országban is elegendő egy ugyanekkora, reprezentatívan kiválasztott minta a teljes lakosság véleményének monitorozására. Ez ijesztő abból a szempontból, hogy ellentmond az ember saját szabad döntéséről és független gondolkodásáról dédelgetett illúzióinak.”

Ha rendelkezésre áll rengeteg adat az emberek mozgásáról, más emberekkel létrejövő kontaktusairól – és a mobiltelefonok, a műholdas helymeghatározás, illetve a közösségi média korában összehasonlíthatatlanul több adat áll a kutatók rendelkezésére, mint akár néhány évvel ezelőtt –, akkor igen realisztikus modellt lehet alkotni például egy járvány terjedéséről.

A valóságban ezzel szemben az a helyzet, hogy ha valakiről tudjuk, hogy milyen nemű, hány éves, hol lakik, hány könyv van az otthonában, illetve még néhány egyszerű paramétert, akkor abból igen nagy valószínűséggel meg lehet mondani például, hogy kire szavaz. A szabad akarat egyes kutatók szerint csak illúzió, mindannyian a körülményeink rabjai vagyunk. Ha ezt tudatosítjuk magunkban, máris könnyebb elképzelni, hogy a járványmodellek miért képesek a térben mozgó pontokként szimulálni az embereket, és nagyon reális következtetéseket levonni – meglehetősen primitív – viselkedésükből.
Ha a matematikusok rendelkezésére áll rengeteg adat az emberek mozgásáról, más emberekkel létrejövő kontaktusairól (és a mobiltelefonok, a műholdas helymeghatározás, illetve a közösségi média korában összehasonlíthatatlanul több adat áll a kutatók rendelkezésére, mint akár néhány évvel ezelőtt), akkor igen realisztikus modellt lehet alkotni például egy járvány terjedéséről. Ugyanakkor ezeket a modelleket nem megmásíthatatlan sorsként kell értelmezni, hanem figyelmeztetésként. A matematikusok mindig elmondják azt is, hogy hatékony intézkedésekkel drasztikusan lehet csökkenteni a járvány következményeit, de ehhez első körben bíznunk kell a számításaikban. Hiszen az ilyen krízishelyzetekben derül ki igazán, hogy a matematika szó szerint életet menthet.•

 
Archívum
 2011  2012  2013  2014  2015  2016  2017  2018  2019  2020

Innotéka