A legnagyobb Gömböc-szobor Budapesten, a Corvin sétányon. (Kép: wikipedia.org)

Az Ön nevét a Gömböc felfedezése kapcsán ismerhette meg Magyarország és a világ. Ön is ezt a testet tartja élete főművének?

– Valóban a Gömböc vált a leghíresebb eredményemmé, aminek valószínűleg az az oka, hogy alkalmazott matematikusként sikerült olyan felfedezést tennünk, amely szó szerint kézzelfogható tárgyat eredményezett, és ez mindenki számára befogadható volt. Nekem azonban az okozza a legnagyobb büszkeséget, hogy a Gömböcöt és a későbbi eredményeket mindig fiatal hallgatóim­mal, kollégáimmal együtt sikerült megvalósítanunk. Közülük sokan mindmáig a pályán dolgoznak. Azért is kértem, hogy most két hallgatóm is itt legyen, mert számomra az oktatás a legnagyobb jutalom.

A Gömböc az egyetlen olyan homogén szerkezetű (nem súlyozott) tárgy, amelynek két (egy stabil és egy instabil) egyensúlyi pontja van. Magyarul, keljfeljancsi módjára, mindig talpra áll, holott minden pontján azonos a sűrűsége. Hogyan kezdett érdeklődni e probléma iránt?

– Még 1990-ben kutattam a Cornell Egyetemen, és ott kezdtem foglalkozni a problémával. A kérdésünk az volt, hogy lehet-e ilyen síkidomot, illetve testet alkotni. Bebizonyítottuk, hogy két dimenzióban nem lehet, viszont a háromdimenziós esetet – ma már tudom – akkor még totálisan félreértettük. Így a kérdést akkor nem sikerülhetett megválaszolnunk. Öt évvel később személyesen találkoztam Vlagyimir Arnolddal, aki már akkor a matematika élő legendájának számított. Ő világította meg számomra a háromdimenziós feladat lényegét. Felvetette, hogy szemben az elterjedt vélekedéssel, létezhetnek mindössze két egyensúlyi ponttal rendelkező homogén testek. Ezután azonban még tíz évig kellett gondolkodnunk a problémán, míg 2006-ban, Várkonyi Péterrel végre sikerült meg­alkotnunk a Gömböcöt. Igaz ugyan, hogy a Gömböc hatása mind a mai napig tart, de egyáltalán nem gondolom, hogy ez lenne a magyar matematika legnagyobb felfedezése. Viszont lehetséges, hogy az egyik legismertebb.

Mivel magyarázható a népszerűsége?

– Amellett, hogy kézzelfogható, rengeteg témához kapcsolódik a tudományon belül és kívül. Ezek nemcsak a matematikát érintik, de számos ipari alkalmazás is született az évek során. A Gömböc megjelent a művészetekben, és így rengeteg emberhez eljuthatott, amit a legtöbb matematikai felfedezésről nem mondhatunk el. Éppen tegnap indult el a legújabb, 1850-es sorszámú Gömböc a Sydney-i Egyetemre, amely Ausztrália egyik kiemelkedő felsőoktatási intézménye és legfontosabb matematikai központja. Van egy programunk, amelyben a világ legkiválóbb egyetemeinek küldünk ajándékba egy Gömböcöt (szponzorunk, Albrecht Ottó jóvoltá­­ból), amely az alapításuk évszámát viseli. Az 1861-es Göm­böc például az MIT-n, a Massachusettsi Műszaki Egye­te­­men van, de azt egy magángyűjtőtől kellett vissza­vá­sá­rol­nunk, mert már korábban eladtuk neki. 

A Gömböc az új-zélandi Auckland Egyetemen. (Kép: gomboc.eu)

Az ajándék­ba adott Gömböcök ki vannak állítva, de sokat gyűjtők vásá­roltak meg. Aki ad magára, annak van Gömböce! A Sydney-i Egyetem tanszékvezetője, Geordie Williamson, ra­gaszkodott hozzá, hogy kifizeti az árát, és azt kérte, hogy azon a pénzen, amit az övékre költöttünk volna, inkább adjunk egy példányt egy másik, szegényebb egyetemnek.

A Gömböc hatása mind a mai napig tart, de egyáltalán nem gondolom, hogy ez lenne a magyar matematika legnagyobb felfedezése.

A Gömböcöt nem lehet hamisítani?

– Ha az ember megelégszik a gagyival is, akkor persze bármikor vehet kínai hamisítványt. Ám ha azt akarja, hogy tényleg működjön, tehát tényleg minden pozíció­ból visszatérjen az egyensúlyi állapotába, azt borzalma­san nehéz megcsinálni. Ezért olyan drágák az eredeti Gömböcök. A tárgyat és a nevét számos szabadalom és védjegy védi, a számozott darabokhoz pedig még extra védelem is járul, így gyakorlatilag kizárt, hogy bárki más tökéletes, egyedi Gömböcöt gyárthasson. A külföldi intézmények nagyon vigyáznak a Gömböceikre. Most megyek Párizsba. Ott több Gömböc is van, például a Pompidou Központban és a Sorbonne-on. A Pompidou Központban van a világ legnagyobb Gömböce, és most írtak nekem, hogy a felújítás idejére ideiglenes helyre költöztek, de oda is vitték magukkal a Gömböcöt. Úgyhogy elmehetek, és megnézhetem.

Milyen alkalmazásai vannak a Gömböcnek?

– Ezek az alkalmazások nem feltétlenül a Gömböc formához kötődnek, hanem inkább a mögötte rejlő matematikai elmélethez. Rengeteg esetben előfordul, hogy egy testnek magától orientálódnia kell a megfelelő irányba. A Gömböc nagyszerűsége abban áll, hogy az alakja még a homogenitást is „elviseli”. Ezt úgy kell érteni, hogy annak ellenére képes talpra állni, hogy homogén. Vagyis, ha erre súlyozással rásegítünk, miközben megtartjuk az alak alapelveit, akkor még sokkal könnyebben és gyorsabban fog talpra állni. Együttműködünk például az MIT-vel, ahol olyan gyógyszerkapszulát fejlesztenek, amely talpra áll a gyomorban (miközben inzulint és mRNS-t visznek be vele a szervezetbe). Ők jutottak arra a következtetésre, hogy e célra a Gömböc kontúrja lenne a legjobb alak.

Az MIT–Harvard–Novo Nordisk-kutatócsoport által fejlesztett, Gömböc alakú, lenyelhető inzulinkapszula. (Kép: gomboc.eu)

Az elmúlt években több más felfedezése is nemzetközi visszhangot kapott. Ezekben talán az a közös, hogy mind spontán formákkal volt kapcsolatos (persze valószínűleg ezek is a megfoghatóságuk és látványosságuk miatt voltak érdekesek a laikusok számára). Ezek a Gömböcből nőttek ki, vagy időről időre teljesen más témákkal kezd foglalkozni?

– Annyiban függenek össze a Gömböccel, hogy akkor nagyon megváltozott az érdeklődésem. Korábban szerkezeti mechanikával foglalkoztam, de a Gömböc után már egyértelműen a geometriai problémák érdekeltek jobban. Egy-egy problémán mindaddig rágódom, míg úgy nem érzem, hogy már nem tudok mit hozzátenni. Azóta számos természeti formát, mintázatot vizsgáltunk. Például írtunk egy cikket, amelyben bebizonyítottuk, hogy a sziklák (átlagos értelemben) hajlamosak kocka alakban repedni. Kimutattuk, hogy ha egy sokszöget vagy testet elég sokszor eltörünk, akkor az előálló sokszögek vagy poliéderek átlagai egyre inkább kockára jellemző értékekhez közelítenek. Ez a jelenség számos helyen tetten érhető a természetben: a sziklák eróziójától a szikes föld repedezési mintázataiig. Erre talán már Platón is ráérzett, hiszen a filozófus szerint a platóni testek (tehát az egybevágó síkidomok által határolt testek) közül éppen a kocka a Föld legelemibb építőköve.

Tehát ezek a kockák megjelennek a természetes szerkezetekben is?

– Bár a kockákat nem láthatjuk mindenhol, de e test mor­fológiája és matematikai jellemzői mégis mindenhol jelen vannak, ha nagy adattömegek átlagait tekintjük. Bizo­nyos értelemben a kocka absztrakt, „platóni” értelemben létezik: bizonyítottuk, hogy a töredezés eredménye­kép­pen létrejövő fragmentumok jellemzőinek átlagai minden esetben pontosan a kocka tulajdonságaihoz tarta­nak. Ehhez a bizonyításhoz nem kell a kockának láthatóan is megjelennie. Emiatt, bár például a szikesedés hatására létrejövő talajrepedés-mintázatok véletlenszerűek, az átlagok mégsem alakulhatnak akárhogyan. A repedéseket okozó fizikai erők rajta hagyják egyértelműen azonosít­ható nyomaikat. A platóni kockák felfedezéséből indult ki a következő érdekes projektünk: a lágy cellák felfedezése. Ebben a projektben hallgatóm, Kocsis Kinga kimagasló kreativitással kapcsolódott be. (Lásd Lágy cellák című keretes írásunkat.)

A sziklák (átlagos értelemben) hajlamosak kocka alakban repedni. Platón szerint a platóni testek (tehát az egybevágó síkidomok által határolt testek) közül éppen a kocka a Föld legelemibb építőköve. (Kép: Depositphotos/Mcklin)

Lágy cellák

Kocsis Kinga, a BME Építészmérnöki Karának friss mesterdiplomás végzős hallgatója néhány hete védte meg szakdolgozatát, és a védése kisebb nemzetközi szenzációt keltett. Az esemény ugyanis a virtuális valóságban zajlott; a vizsgabizottság tagjai is VR-szemüveget viseltek, és az elébük táruló látványt szerte a világból követték élő streamen. A tudományos show-nak beillő diplomavédést az motiválta, hogy Kocsis Kinga szóban nehezen leírható geometriai testekről, az úgy­nevezett lágy cellákról írta a diplomamunkáját.

„A lágy celláknak nincsenek éles sarkaik, mégis képesek hézag- és átfedésmentesen kitölteni a teret – mondta Kocsis Kinga. – E lágy cellák számos helyen megjelennek a természetben. Például a mélytengeri csigák házában.”

A csonkolt oktaéder lágyított formája. (Kép: bme.hu)

A mikroszkopikus világ telis-tele van lágy cellákkal. Ilyen formájúak a növényi sejtfalak, és számos anyag mikroszerkezetében is tetten érhetők. Emellett hatalmas lágy cellák is léteznek: geológiai térképeken több száz kilométeres lágy cellákat látni, amelyek kőzetlemezek határterületein alakul­nak ki. A lágy cellákat alapvetően a lekerekített sarkokról ismerhetjük fel. Azért ennyire elterjedtek, mert stabilabbak a szögletes formáknál, és jobban elviselik a mechanikai erőhatásokat.

A csúcsoknál mindig megnő a feszültség, így a struktúra könnyebben törik. Emiatt lekerekítettek például a repülőgépek ablakai is. Az evolúció már évmilliókkal ezelőtt „rájött” a lágy cellák előnyeire, de Domokos Gábor és munkatársai előtt senki sem tudta leírni őket matematikai módszerek­kel. A lágy cellák sok szempontból jobban bírják a mechanikai kihívásokat, és erősebben összekapaszkodnak, mint a poliéderek. 

Ez az oka annak, hogy ha élő szövetről készítünk metszetet, ott a legritkább esetben találkozunk éles sarkokkal. Ilyen csúcsok csak a rideg törések következtében jönnek létre a természetben, illetve az ember képes őket létrehozni. Bár újabban már az építészetben is terjednek a lekerekített, lágy cellákra hasonlító formák, például a híres építész, Zaha Hadid alkotásaiban. Sok ember ugyanis ösztönösen szépnek, megnyugtatónak látja őket, emellett pedig a mechanikai tulajdonságaik is jobbak.

„Kutatásaink során csúcsokkal nem rendelkező, egybevágó és egymásba illeszkedő lágy cellákat terveztünk, a kockák módosításával – folytatta Kocsis Kinga. – Kimutattuk, hogy a kockarácsból kiindulva összesen 26 különböző testet lehet létrehozni lágyítással. A lágyítás során nem vehetünk el anyagot a csúcsokból (vagyis nem reszelhetjük le őket), hiszen úgy megszűnne a hézagmentes térkitöltés feltétele. Ehelyett úgy kell formálnunk az egységek határvonalait, hogy végül megszűnjenek közöttük a csúcsok. A Texasi Egyetemen törésteszteket végeztek az egyik lágy cellával, és az erősebbnek bizonyult, mint a sima téglatest.”

A Gömböc az egyetlen forma, amely talpra képes állni?

– Számos alak képzelhető el, amely magától visszatalál az egyensúlyi pontjába. A poliédereknél (tehát a síkidomok által határolt testeknél) ez csak igen sok lap és csúcs esetén valósítható meg súlyozás nélkül. Viszont tervezhetünk olyan, kevés lapú poliéder formát, amely már minimális súlyozással is talpra áll. Ez hatalmas segítség lenne például a bolygókra leszálló szondák számára. Az utóbbi időben több űrszonda is megpróbált landolni a Holdon, de szinte mindegyik fel­dőlt. Ezt a problémát lehetne részben azzal is kezelni, ha megfelelő alakúra terveznék ezeket a szon­dá­kat (természetesen a formáju­­kat rengeteg más körülmény is be­folyásolja). Manapság azonban geometriai szempontból a lehető legrosszabb e szondák alakja.

Tervezhetünk olyan, kevés lapú poliéder formát, amely már minimális súlyozással is talpra áll. Ez hatalmas segítség lenne például a bolygókra leszálló szondák számára.

De a holdkompok sokkal bonyolultabb formájúak az egyszerű poliédereknél.

– Amikor látunk egy holdkompot, valóban nem poliéder jut róla az eszünkbe. Ám fontos figyelem­be vennünk, hogy ezek a szerkezetek nem a falaikon gördülnek, amikor feldőlnek. Ehelyett a leg­külső pontjaik által kirajzolt, úgynevezett konvex burkon fordulnak át, ami egy képzeletbeli poliéder. Minthogy minden szögletes tárgy poliéder konvex burkon gördül, az ezzel kapcsolatos felfedezéseink­nek egészen széles körű felhasználásai lehetnek, hála egy másik hallgatómnak, Almádi Gergőnek. (Lásd Bille című keretes írásunkat.) Nem­régi­ben beszélgettem a Lockheed Mar­tin űrhajózási részlegének egyik mérnökével. Ő azt mondta, hogy nem kell a formának tökéletesnek lennie ah­hoz, hogy hasznos legyen. Ha az űrszonda nem 90 százalékos eséllyel borul fel, csak 70 százalékossal, már az is nagy eredmény lenne. Például, ha nem minden, de néhány pozíció­ból képes lenne magától talpra állni, már azzal is sokat nyernének.

Bille

Az elképzelhető legegyszerűbb poliéder a tetraéder, amelyet négy háromszög határol. Korábban senki sem látott még olyan tetraédert, amely – súlyozással – mindig az egyik oldalára fordul vissza magától. Tavaly azonban Domokos Gábor és Almádi Gergő, a BME Építészmérnöki Kar egy másik végzős hallgatója meg­alkotta a valóságban is az első ilyen tetraédert, amelyet Billének neveztek el. Az elnevezésben egyesül a billen szó és a test pillekönnyűsége – hiszen míg egyik oldala (a talpa) jó nehéz, a többi oldalt csak az élek mentén futó karboncső váz alkotja.

A Bille a világ első, fizikailag is megvalósult monostabil tetraédere. (Kép: bme.hu)

„A Bille a világ első, fizikailag is megvalósult monostabil tetraédere. Ez volt a kiválósági diplomamunkám fő eredménye – magyarázta Almádi Gergő. – Ez a kutatás számos szempontból hasonló a Gömböchöz, hiszen a mi vizsgálataink is egy régi sejtés nyomán indultak el. John Horton Conway matematikus fogalmazta meg 1969-ben, hogy létezhet súlyo­zott monostabil tetraéder, amely csak az egyik lapján tud megállni. Ez abban az időben egészen forradalmi felvetés volt, nem sokan tudták elképzelni, hogy ez valóban megvalósítható a gyakorlatban.”

A sejtés matematikai bizonyítására egészen 2023-ig kellett várni. Almádi Gergő elmondta, hogy bár matematikailag nem túl bonyolult egy test súlypontját bárhová helyezni, de ténylegesen megalkotni egy ilyen tárgyat már sokkal nehezebb. Ezért volt fontos a résztvevők számára, hogy a Bille ne csak virtuális model­leken, ha­nem a való­­ság­­ban is létrejöjjön, és a BME Építészmérnöki Ka­rán szülessen meg. „Szá­munkra, mérnökök számára mindig nagyon fontos, hogy fizikai valójukban is lássuk az általunk tervezett tárgyakat. Ha csak papíron létezik valami, azt még a mate­matikusok is elfelejtik. De a Bille kézzelfogható konstrukcióként is megvalósult, és ez tette lehetővé, hogy bejárja a világsajtót. A test léte figyelemfelhívás a mérnökök felé arról, hogy a szerkezetek tervezésekor a geometriai megfontolásokat is érdemes figyelembe venniük. Ezzel például költségeket takaríthatunk meg.”

Almádi Gergő elmondása szerint a Bille bizonyos szempontból ellentéte a lágy celláknak. Utóbbiaknál azt bizonyították be, hogy a termé­szet lekerekített formákra törekszik. A Bille viszont a mérnöki célok meg­valósításakor domináns leegyszerűsített poliéderek egyik legegysze­rűbb képviselőjeként értelmezhető. Ilyenformán számos tervezési probléma megoldásában lehet alkalmazni a létrejöttét megalapozó elméleteket. A Bille egy példánya azóta bekerült a kontinentális Európa legjobbnak számító műszaki egyetemén, az ETH Zürichen gondozott híres matematikai gyűjteménybe.

Ezek az űrkutatási alkalmazások megvalósulhatnak a gyakor­latban is?

– Jó úton haladunk efelé. Miután bemutattuk a Billét, meghívást kaptunk egy pályázatra, amelyet meg is nyertünk. Az Európai Űrügynökség (ESA) brémai mikrogravitációs laboratóriuma a legnagyobb ilyen kutatási létesítmény a világon. Ott a földitől eltérő gravitációs környezetben le­het tesztelni tárgyakat. Azt tervez­zük, hogy még idén elvisszük oda a Billét, mert az űrkutatók azt jelezték nekünk, hogy látnak benne fantáziát. Eközben más geometriájú, hasonló viselkedésű tárgyakat is fejlesztünk. Sőt, elméletet alkottunk arról, hogy hogyan lehet szabályozni a tárgyak egyensúlyi helyzeteinek számát. Ez alapján más formák, például a holdkompok formáját is értékelhetjük. 2008-ban szállt le a Marson a Path­finder szonda, amiből egy kis méretű kerekes modul (rover) gurult ki. A ro­ver az utazás során egy tetraéder­be volt zárva, amely motorok segít­ségével állt a talpára a landolás után. Ezt a tetraédert is a Lockheed építette. A cég főmérnöke azt mondta nekem, hogy ha a tervezésekor, több mint húsz évvel ezelőtt figyelembe vehettek volna mindent, amit azóta mi itt a BME-n felfedeztünk, akkor vélhetően kisebb motorok is elegendők lehettek volna a tetraéder talpra állításához. Márpedig az űrhajózás­ban minden grammnyi tömeg megspórolása vagyonok megtakarítását jelenti. Így több hasznos terhet szállíthatott volna a szonda. Még nagyon hosszú út áll előttünk. Egyáltalán nem csupán a Bille tetraéderről szól a történet, hanem egy új tervezési módszertanról. E módszertannak a Bille rendkívül látványos demonstrációja volt.•

Címlapkép: gomboc.eu